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赋范线性空间三

三、内积空间

赋范线性空间是定义了向量长度的线性空间，但有时还会对向量的夹角感兴趣，因此引入内积。

3.1 内积空间的定义和性质

内积同样可以自行定义，但应满足以下基本条件：

【定义】内积

设 $X$ 是数域 $F$ （实数域or复数域）上的线性空间，若映射 $<\cdot ,\cdot >:X\times X\to F$ 满足 $\forall x,y,z\in X,\alpha ,\beta \in F$

• 正定性：$<x,x>\ge 0$，取等号当且仅当 $x=0$
• 共轭对称性：$<x,y>=\overline{<y,x>}$（这里的共轭指复数的共轭）
• 第一变元线性性：$<\alpha x+\beta y,z>=\alpha <x,z>+\beta <y,z>$，其中 $\alpha ,\beta \in F$

【定理】内积的性质——Schwarz不等式

$|<x,y>|\le \sqrt{<x,x>}\sqrt{<y,y>}$

【定义】有内积导出的范数

设 $X$ 为内积空间，$\forall x\in X$，记

• $\Vert x\Vert =\sqrt{<x,x>}$

称 $\Vert \cdot \Vert$ 为由 $X$ 上的内积导出来的范数

【定理】内积、由内积导出的范数 的性质

设 $X$ 为内积空间，$x,y\in X$，则对于内积和由内积导出的范数，有

• 平行四边形公式 $\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2)$

• 极化恒等式

  • 当 $X$ 为实内积空间时

    $<x,y>=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2)$

  • 当 $X$ 为复内积空间时

    $<x,y>=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2+i\Vert x+iy{\Vert }^2-i\Vert x-iy{\Vert }^2)$

3.2 正交与正交系

有了内积的定义，空间中就有了夹角的概念，相应的也就有了正交这样的几何概念

【定义】正交、正交补

• 设 $X$ 为内积空间，$x,y\in X$，若 $<x,y>=0$，则称 $x$ 与 $y$ 是正交的，记为 $x\perp y$

• 设 $X,Y\subset X$，若 $\forall x\in A,y\in B$，有 $x\perp y$，就称 $A$ 与 $B$ 正交，记为 $A\perp B$，特别的 { x } ⊥ B \{x\}\perp B {x}⊥B 记为 $x\perp B$

• 记 A ⊥ = { x ∣ x ⊥ A } A^{\perp}=\{x|x\perp A\} A⊥={x∣x⊥A}，称 $A^{\perp }$ 为 $A$ 的正交补

【定理】勾股定理在内积空间中的推广

设 $X$ 为内积空间，$x,y\in X$，$x\perp y$，则有
$$\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2$$
对任意有限个相互正交的元素，有
$${\Vert \sum _{i=1}^n{x}_i\Vert }^2=\sum _{i=1}^n{\Vert x_i\Vert }^2$$

【定义】正交系、标准正交系

设 X 为内积空间， E = { e i ∣ i ∈ I } E=\{e_i|i\in I\} E={ei​∣i∈I} 为一簇非零元素，其中 $I$ 为某一非空集合，

• 若其中任意两元素均正交，则称 $E$ 为 $X$ 中的正交系
• 若还满足 $\forall e_i\in E$，$\Vert e_i\Vert =1$，则称 $E$ 为标准正交系

【定理】Bessel 不等式（标准正交系推出的性质）

设 X 为内积空间， E = { e i ∣ i ∈ Z + } E=\{e_i|i\in\mathbb{Z}_+ \} E={ei​∣i∈Z+​} 为标准正交系，则 $\forall x\in X$，有
$$\Vert x{\Vert }^2\ge \sum _{i=1}^{\infty }|<x,r_i>{|}^2$$

【定义】完全系

设 X 为内积空间， E = { e i ∣ i ∈ Z + } E=\{e_i|i\in\mathbb{Z}_+ \} E={ei​∣i∈Z+​} 为标准正交系，若只有零元与一切 $e_i\in E$ 都正交，则称 $E$ 是个完全系

【定理】完全系的等价描述

设 $X$ 是 Hilbert 空间¹， E = { e i ∣ i ∈ Z + } E=\{e_i|i\in\mathbb{Z}_+ \} E={ei​∣i∈Z+​} 为标准正交系，则下列说法等价：

• $E$ 是完全系
• $\forall x\in X$，$x={\sum }_{i=1}^{\infty }<x,e_i>e_i$
• Parseval 等式成立，即 $\forall x\in X$，有 $\Vert x{\Vert }^2={\sum }_{i=1}^{\infty }|<x,e_i>{|}^2$

【定理】Gram-Schmidt 正交化

设 B = { x n ∣ n ∈ Z + } B=\{x_n|n\in \mathbb{Z}_+\} B={xn​∣n∈Z+​} 是内积空间 $X$ 的可数子集，则存在标准正交系 E = { e n ∣ n ∈ Z + } E=\{e_n|n\in\mathbb{Z}_+ \} E={en​∣n∈Z+​} 使得 $spanB=spanE$²

【定理】可分的Hilbert空间必存在完全的标准正交系

设 $X$ 是可分³的Hilbert空间，则 $X$ 中必存在完全的标准正交系

【定义】内积空间的同构

设 $X,Y$ 是同一数域上的内积空间，$T$ 是 $X$ 到 $Y$ 的线性同构映射，

• 若 $T$ 还保持内积，即 $\forall x,y\in X$，$<Tx,Ty>=<x,y>$

则称 $T$ 为内积空间上的同构映射，称 $X,Y$ 作为内积空间是同构的

【定理】任何可分³的无穷维Hilbert空间都与 l² 等距同构

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1. 【Hilbert空间】备的内积空间称为Hilbert空间 ↩︎

2. 【span】线性空间内所有元素对于加法、数乘封闭，这些元素所有可能的线性组合记作 $Span$ ↩︎

3. 【可分】设 $A,B$ 为度量空间 $X$ 中的子集，若 $B\subset \overline{A}$ ，就称 $A$ 在 $B$ 中稠密，若一个可数集 $A$ 在 $X$ 中稠密，则称 $X$ 是可分的。 ↩︎ ↩︎